MATEMATIKA | Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Dalam matematika, konsep pemrosesan seperti ini dikenal sebagai Fungsi. Mari kita bedah konsep dasar fungsi, fungsi komposisi, hingga fungsi invers
1. Konsep Dasar Fungsi
Secara ilmiah, fungsi adalah aturan yang menghubungkan setiap anggota dari suatu himpunan asal (domain) tepat ke satu anggota pada himpunan kawan (kodomain).
Bayangkan fungsi sebagai sebuah mesin $f$. Jika kamu memasukkan nilai $x$ ke dalam mesin, mesin akan mengolahnya sesuai rumus tertentu dan mengeluarkan nilai $y$ atau $f(x)$.
Syarat Mutlak Fungsi: Semua anggota di himpunan asal ($x$) harus punya pasangan, dan pasangannya tidak boleh lebih dari satu.
Contoh Rumus Fungsi:
Jika $x = 2$, maka $f(2) = 2(2) + 3 = 7$.
Fungsi itu kalau kita analogikan sebuah mesin, semisal ketika kita memasukkan angka 2 kemudian di proses dalam sebuah fungsi $$f(x) = 2x + 3$$ maka akan menghasilkan output 7.
2. Fungsi Komposisi
Bagaimana jika proses tidak berhenti di satu mesin saja? Misalnya, biji gandum diproses oleh Mesin A menjadi tepung, lalu tepung diproses oleh Mesin B sehingga menjadi roti.
Proses penggabungan dua atau lebih fungsi secara berurutan seperti ini disebut Fungsi Komposisi.
Jika fungsi $g$ bekerja terlebih dahulu lalu dilanjutkan oleh fungsi $f$, dituliskan sebagai:
(Dibaca: "$f$ bundaran $g$ dari $x$" atau "$f$ kompossisi $g$")
Contoh Sederhana:
Diketahui:
$g(x) = x + 1$
$f(x) = 2x$
Berapa nilai $(f \circ g)(x)$?
Masukkan $g(x)$ ke dalam fungsi $f$:
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1)$
$(f \circ g)(x) = 2(x + 1) = 2x + 2$
Catatan Penting: Urutan sangat berpengaruh! Secara umum, $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$.
3. Fungsi Invers
Jika fungsi adalah proses dari asal ke tujuan, maka fungsi invers adalah proses mengembalikan nilai tujuan kembali ke asal. Sederhananya, ini adalah "tombol undo" atau kebalikan dari fungsi awal.
Fungsi invers dilambangkan dengan simbol $f^{-1}(x)$.
Syarat Keberadaan Fungsi Invers
Tidak semua fungsi memiliki invers yang juga berbentuk fungsi. Agar suatu fungsi memiliki fungsi invers, fungsi tersebut harus bersifat bijektif (korespondensi satu-satu), di mana setiap anggota domain berpasangan tepat dengan satu anggota kodomain dan sebaliknya.
Apa itu bijektif?
Suatu fungsi dikatakan bijektif jika memenuhi dua syarat sekaligus:
Injektif (Satu-satu): Tidak ada dua nilai $x$ berbeda yang menghasilkan nilai $y$ yang sama.
Surjektif : Setiap anggota di himpunan kawan (kodomain) memiliki setidaknya satu pasangan di himpunan asal (domain).
Cara Menentukan Rumus Fungsi Invers
Langkah-langkah umum membalikkan fungsi $f(x)$:
Ubah bentuk $f(x)$ menjadi $y$.
Lakukan manipulasi aljabar untuk menyatakan $x$ dalam bentuk $y$ ($x = g(y)$).
Ganti variabel $x$ menjadi $f^{-1}(y)$.
Ubah kembali variabel $y$ menjadi $x$.
Contoh:
Cari invers dari $f(x) = 3x - 5$.
$y = 3x - 5$
$y + 5 = 3x \implies x = \frac{y + 5}{3}$
$f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$
CONTOH SOAL
Diketahui sebuah fungsi linear $f(x) = \frac{2x + 5}{3x - 4}$ dengan $x \neq \frac{4}{3}$. Tentukan rumus fungsi invers $f^{-1}(x)$!
Penyelesaian:
Misalkan $f(x) = y$:
$$y = \frac{2x + 5}{3x - 4}$$Kalikan silang untuk mengisolasi variabel $x$:
$$y(3x - 4) = 2x + 5$$$$3xy - 4y = 2x + 5$$Pindahkan semua suku yang mengandung variabel $x$ ke ruas kiri, dan suku lainnya ke ruas kanan:
$$3xy - 2x = 4y + 5$$Faktorkan variabel $x$:
$$x(3y - 2) = 4y + 5$$Bagikan kedua ruas dengan $(3y - 2)$:
$$x = \frac{4y + 5}{3y - 2}$$Ganti variabel $x$ menjadi $f^{-1}(x)$ dan $y$ menjadi $x$:
$$f^{-1}(x) = \frac{4x + 5}{3x - 2}, \quad \text{dengan } x \neq \frac{2}{3}$$
Ringkasan Singkat
| Konsep | Analogi | Formula Utama |
| Fungsi | Mesin pemroses input jadi output | $y = f(x)$ |
| Komposisi | Pabrik dengan dua rantai mesin | $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ |
| Invers | Tombol pembatal (undo) | $f^{-1}(f(x)) = x$ |
