MATEMATIKA | Barisan dan Deret Aritmatika

Apa Itu Barisan dan apa itu Deret?

Barisan adalah urutan angka atau bilangan yang disusun menurut suatu pola tertentu, sedangkan deret adalah jumlah dari suku-suku yang ada di dalam barisan tersebut

Barisan dan deret aritmatika adalah dua konsep dasar dalam matematika yang mempelajari pola perubahan angka dengan selisih yang tetap.


Disclaimer : Menurut KKBI yang benar adalah Aritmetika BUKAN Aritmatika, tapi tak apa lah karena kita sudah terlanjur mudah menyebutnya aritmatika

1. Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah urutan angka yang selisih antara dua suku berurutan selalu sama (konstan). Selisih ini disebut beda ($b$).

Rumus Suku ke-$n$ ($U_n$)

$$U_n = a + (n - 1)b$$

  • $U_n$: Suku ke-$n$

  • $a$: Suku pertama ($U_1$)

  • $b$: Beda ($U_2 - U_1$)

  • $n$: Banyaknya suku

2. Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah seluruh suku yang ada dalam barisan aritmatika.

Rumus Jumlah $n$ Suku Pertama ($S_n$)

$$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)b) \quad \text{atau} \quad S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)$$

  • $S_n$: Jumlah $n$ suku pertama

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1: Mencari Suku ke-$n$

Diketahui barisan aritmatika: $3, 7, 11, 15, \dots$

Tentukan suku ke-$10$ ($U_{10}$) dari barisan tersebut!

Pembahasan:

  1. Identifikasi komponen yang diketahui:

    • $a = 3$

    • $b = 7 - 3 = 4$

    • $n = 10$

  2. Masukkan ke rumus $U_n$:

    $$U_{10} = 3 + (10 - 1)4$$
    $$U_{10} = 3 + (9 \times 4)$$
    $$U_{10} = 3 + 36 = 39$$

Jadi, suku ke-$10$ dari barisan tersebut adalah $39$.

Soal 2: Mencari Jumlah $n$ Suku Pertama

Dari barisan pada Soal 1 ($3, 7, 11, 15, \dots$), hitunglah jumlah $10$ suku pertamanya ($S_{10}$)!

Pembahasan:

  1. Gunakan nilai yang sudah diketahui: $a = 3$, $b = 4$, $n = 10$, dan $U_{10} = 39$.

  2. Gunakan rumus $S_n$:

    $$S_{10} = \frac{10}{2} (a + U_{10})$$
    $$S_{10} = 5 \times (3 + 39)$$
    $$S_{10} = 5 \times 42 = 210$$

Jadi, jumlah $10$ suku pertama dari deret tersebut adalah $210$.